Что считать "точным решением"... Скажем, в классической механике для движения в одномерном потенциале _все_ задачи решаются точно - в смысле, ответ выражается через один-единственный интеграл. В квантовой механике ничего подобного сделать нельзя.

А вот если иметь в виду, что интеграл должен явно браться и ответ выражаться через функции из какого-то ограниченного класса (ну, скажем, в пределах "Курса современного анализа" Уитеккера и Ватсона)... Тогда вопрос совсем не дилетантский, и ответ я не знаю. Возможно, тогда это будут одни и те же системы, да.

Есть еще связанный вопрос (время от времени мучаю им знакомых математиков, у самого есть невнятные идеи, но математическое невежество не дает продвинуться): можно ли составить полный список потенциалов, для которых квазиклассический спектр совпадает с точным - как для осциллятора и для кулоновского потенциала (после замены Лангера)?