Посмотрел на вторую работу (в арХиве). Конечно, это 100% физика. Вы начинаете обсуждать физически мотивированную задачу с солидной предысторией. Потом появляется система уравнений (1) в частных производных, которую предлагается "решать" в виде анзатца (2). Система (3) уже содержит "упрощения" типа "оставим интересное, выкинем неинтересное", но она слишком сложна, чтобы я что-нибудь мог про неё сказать.
Свет надежды на понимание вспыхивает после появления системы (4), уж бог с ней, какими упрощениями она написана и какой смысл переменных u,v. Это система двух автономных уравнений второго порядка, т.е., векторное поле в (комплексном?) четырёхмерном пространстве в окрестности особой точки. Матрица линеаризации имеет две пары чисто мнимых сообственных значений, \pm i\omega и \pm i\Omega. Математику немедленно есть что сказать за этот сюжет: если между малой и большой омегами нет арифметических соотношений, то система (с точностью до малых высших порядков) распадается в два независимых уравнения, т.е., написанные кубические члены устраняются путём замены переменных. С другой стороны, если такие соотношения есть (кажется, когда одна из частот ровно вдвое больше или вдвое меньше другой, то резонанс присутствует именно в той форме, как написан, но можно оставить только один из этих членов по хорошему надо бы всё написать аккуратно, но я органически не способен вычислять без ошибок). Может быть, если соотношение частот 3:2, резонансные члены будут именно те, что написаны у вас. Но в любом случае в системе явно не хватает "внутренних резонансов" для каждой переменной отдельно, которые будут вне зависимости от арифметики соотношений между омегами. Это я так попытался описать нормальную форму Пуанкаре-Дюлака своими словами ;-)
Будет ли она интегрируемой? Скорее всего, нет (интегрируются нормальные формы с одним резонансным соотношением, а тут их как минимум два). Но можно попытаться свести задачу к системе из двух уравнений для двух резонансных мономов и посмотреть на неё незамутнённым взглядом.
Но ничего из этого вы не делаете, а возвращаетесь к изначальному представлению в виде волн и выводите (линеаризацией по малому параметру лямбда) какие-то уравнения на то, как комплексные амплитуды меняются со временем (оооочень медленно - в правой части кубы!). Соответственно, ответ математику непонятен ни формально, ни по существу.
Чтобы стало понятно математику, надо было бы стартовать не с физической задачи, а с математической: есть два ангармонических осциллятора, слабо связанных, при таких-то и таких-то предположениях о соотношении частот. Непременно оговорить, - гамильтонова ли задача, или есть трение (пускай и нелинейное). Без связи система вполне интегрируема, значит, надо проверять условия КАМ-теоремы. Если всё хорошо и большинство инвариантных торов сохраняются при малом возмущении, - никакого вообще перетока энергии нет. Вблизи резонанса тоже очень многое чего известно (не мне, - профессионалам!), если данный случай покрывается известными работами (про диффузию Арнольда или ещё что) - прекрасно, если нет, - вот тут-то и начинается самое интересное.
Надеюсь, вы не воспримете сказанное как попытку научить вас, как писать статьи, - я просто попытался объяснить, чем с моей точки зрения метаболизм математика отличается от метаболизма физика, что надо разжёвывать, а чего не надо.
no subject
Свет надежды на понимание вспыхивает после появления системы (4), уж бог с ней, какими упрощениями она написана и какой смысл переменных u,v. Это система двух автономных уравнений второго порядка, т.е., векторное поле в (комплексном?) четырёхмерном пространстве в окрестности особой точки. Матрица линеаризации имеет две пары чисто мнимых сообственных значений, \pm i\omega и \pm i\Omega. Математику немедленно есть что сказать за этот сюжет: если между малой и большой омегами нет арифметических соотношений, то система (с точностью до малых высших порядков) распадается в два независимых уравнения, т.е., написанные кубические члены устраняются путём замены переменных. С другой стороны, если такие соотношения есть (кажется, когда одна из частот ровно вдвое больше или вдвое меньше другой, то резонанс присутствует именно в той форме, как написан, но можно оставить только один из этих членов по хорошему надо бы всё написать аккуратно, но я органически не способен вычислять без ошибок). Может быть, если соотношение частот 3:2, резонансные члены будут именно те, что написаны у вас. Но в любом случае в системе явно не хватает "внутренних резонансов" для каждой переменной отдельно, которые будут вне зависимости от арифметики соотношений между омегами. Это я так попытался описать нормальную форму Пуанкаре-Дюлака своими словами ;-)
Будет ли она интегрируемой? Скорее всего, нет (интегрируются нормальные формы с одним резонансным соотношением, а тут их как минимум два). Но можно попытаться свести задачу к системе из двух уравнений для двух резонансных мономов и посмотреть на неё незамутнённым взглядом.
Но ничего из этого вы не делаете, а возвращаетесь к изначальному представлению в виде волн и выводите (линеаризацией по малому параметру лямбда) какие-то уравнения на то, как комплексные амплитуды меняются со временем (оооочень медленно - в правой части кубы!). Соответственно, ответ математику непонятен ни формально, ни по существу.
Чтобы стало понятно математику, надо было бы стартовать не с физической задачи, а с математической: есть два ангармонических осциллятора, слабо связанных, при таких-то и таких-то предположениях о соотношении частот. Непременно оговорить, - гамильтонова ли задача, или есть трение (пускай и нелинейное). Без связи система вполне интегрируема, значит, надо проверять условия КАМ-теоремы. Если всё хорошо и большинство инвариантных торов сохраняются при малом возмущении, - никакого вообще перетока энергии нет. Вблизи резонанса тоже очень многое чего известно (не мне, - профессионалам!), если данный случай покрывается известными работами (про диффузию Арнольда или ещё что) - прекрасно, если нет, - вот тут-то и начинается самое интересное.
Надеюсь, вы не воспримете сказанное как попытку научить вас, как писать статьи, - я просто попытался объяснить, чем с моей точки зрения метаболизм математика отличается от метаболизма физика, что надо разжёвывать, а чего не надо.