flying_bear (![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
flying_bear) wrote2017-05-14 10:14 am
flying_bear) wrote2017-05-14 10:14 am
Entry tags:
О доказательствах в физике
http://ivanov-petrov.livejournal.com/2050414.html
Начнем с банальности: никакой строгой, полной и непротиворечивой системы доказательств не бывает. Но об этом "все", по крайней мере, слышали звон, говорить про это не очень интересно, и вообще, пусть математики и логики хоронят своих мудрецов... то есть, простите, мертвецов. Вопрос, наверно, не в этом. Вопрос (как понял) в том, как возможна хотя бы приблизительная уверенность в правильности утверждений в принципиально открытом мире, где, потенциально, все связано со всем. Всегда ведь можно сказать, что какой-нибудь новый неучтенный фактор перевернет все с ног на голову или наоборот.
Про это можно писать тома, со ссылками, примерами и подробными обоснованиями. В формате записи в блоге можно и уместно отметить следующее:
1. Познание начинается с середины, с попыток описать более-менее систематически мир вокруг нас. Потом мы движемся к "основам" (которые на самом деле никакими основами не меняются). Там новые факторы могут заставить нас радикально пересмотреть подход, но на описание мира вокруг нас это почти не влияет. Законы термодинамики более надежны, чем квантовая теория поля. Эйнштейн говорил, что классическая термодинамика - единственная теория, в отношении которой он убежден, что в пределах своей применимости она останется верной навсегда.
2. Это частный случай более общего свойства: наше описание мира иерархично, причем - и это очень важно - описание каждого уровня реальности в очень сильной степени не зависит от описания более глубинных уровней. По этому поводу часто произносится слово emergence. Речь идет о некоторых "классах универсальности" поведения сложных систем, причем, о сравнительно небольшом числе таких классов. Малые неучтенные взаимодействия не выводят, как правило, систему из данного класса.
3. Требование устойчивости (robustness) такого рода может даже использоваться для вывода законов природы - как, например, в нашем подходе к квантовой механике (см. недавний доклад и ссылки в нем: http://www.theorphys.science.ru.nl/people/katsnelson/dice.pdf ). То есть, те теории, которые не обладают этим свойством устойчивости, независимости от неизвестных деталей на глубинном уровне, просто не должны рассматриваться.
4. С этим, кстати, связано требование перенормируемости в квантовой теории поля. Неперенормируемые теории нефизичны именно потому, что зависят от тех масштабов, где мы ничего не знаем и, возможно, не узнаем. Нетривиальное утверждение состоит в том, что устойчивые теории возможны и существуют.
5. В более общем плане, речь идет вообще о возможности феноменологической науки (прототипом как раз и является классическая термодинамика).
6. Вот по всему по этому принцип соответствия является основным законом развития физики, а болтовня о "научных революциях" пользуется популярностью в основном среди "неученых любителей наук". Профессионалы знают, что квантовая механика не отменила классическую, более того, в двадцатом веке последняя расцвела пышным цветом (детерминированный хаос, нетривиальные полностью интегрируемые системы, и так далее).
7. И так далее.
Начнем с банальности: никакой строгой, полной и непротиворечивой системы доказательств не бывает. Но об этом "все", по крайней мере, слышали звон, говорить про это не очень интересно, и вообще, пусть математики и логики хоронят своих мудрецов... то есть, простите, мертвецов. Вопрос, наверно, не в этом. Вопрос (как понял) в том, как возможна хотя бы приблизительная уверенность в правильности утверждений в принципиально открытом мире, где, потенциально, все связано со всем. Всегда ведь можно сказать, что какой-нибудь новый неучтенный фактор перевернет все с ног на голову или наоборот.
Про это можно писать тома, со ссылками, примерами и подробными обоснованиями. В формате записи в блоге можно и уместно отметить следующее:
1. Познание начинается с середины, с попыток описать более-менее систематически мир вокруг нас. Потом мы движемся к "основам" (которые на самом деле никакими основами не меняются). Там новые факторы могут заставить нас радикально пересмотреть подход, но на описание мира вокруг нас это почти не влияет. Законы термодинамики более надежны, чем квантовая теория поля. Эйнштейн говорил, что классическая термодинамика - единственная теория, в отношении которой он убежден, что в пределах своей применимости она останется верной навсегда.
2. Это частный случай более общего свойства: наше описание мира иерархично, причем - и это очень важно - описание каждого уровня реальности в очень сильной степени не зависит от описания более глубинных уровней. По этому поводу часто произносится слово emergence. Речь идет о некоторых "классах универсальности" поведения сложных систем, причем, о сравнительно небольшом числе таких классов. Малые неучтенные взаимодействия не выводят, как правило, систему из данного класса.
3. Требование устойчивости (robustness) такого рода может даже использоваться для вывода законов природы - как, например, в нашем подходе к квантовой механике (см. недавний доклад и ссылки в нем: http://www.theorphys.science.ru.nl/people/katsnelson/dice.pdf ). То есть, те теории, которые не обладают этим свойством устойчивости, независимости от неизвестных деталей на глубинном уровне, просто не должны рассматриваться.
4. С этим, кстати, связано требование перенормируемости в квантовой теории поля. Неперенормируемые теории нефизичны именно потому, что зависят от тех масштабов, где мы ничего не знаем и, возможно, не узнаем. Нетривиальное утверждение состоит в том, что устойчивые теории возможны и существуют.
5. В более общем плане, речь идет вообще о возможности феноменологической науки (прототипом как раз и является классическая термодинамика).
6. Вот по всему по этому принцип соответствия является основным законом развития физики, а болтовня о "научных революциях" пользуется популярностью в основном среди "неученых любителей наук". Профессионалы знают, что квантовая механика не отменила классическую, более того, в двадцатом веке последняя расцвела пышным цветом (детерминированный хаос, нетривиальные полностью интегрируемые системы, и так далее).
7. И так далее.
no subject
Что касается теории упругости (самой что ни на есть гуковской)... Что, термоупругость (температурная зависимость модулей упругости) - не физика? Поле смещений вокруг дислокации - не физика? Звучит для меня очень странно.
Вы просто общаетесь с неправильными пчелами. Следите за правильностью изготовляемого ими меда.
no subject
Я бы свой тезис о том, где пролегает граница между математикой и физикой, огрубил до совершенно варварского. В тот момент, когда физики пишут систему уравнений, которая по их мнению описывает ту или иную реальность максимально точно, то задача уходит из физики в математику. До тех пор, пока такая система не выписана (выведена, написана из общих соображений, не всегда согласуется с экспериментом, ...) - она остаётся в зоне ответственности физиков.
Хороший пример, - уравнение Навье-Стокса и существование его решений. У физиков нет сомнения в том, что жидкость как-то течёт. С другой стороны, они не торопятся добавить в НС какие-то дополнительные члены, им комфортно и так. Поэтому задача доказательства существования и единственности - не физическая, а математическая.
А как тензор упругости зависит от температуры, - это ж надо знать теорию твёрдого тела, чтобы строить модели. Это как выводить закон Ома из статистики рассеяния электронов в поле на решётке. Но колько скоро закон Ома написан, расчёт электрических цепей уходит из физики в математику/инженерию, до появления нелинейных элементов...
Теория динамических систем и детерминированного хаоса физиков удивила по первости. Математики же с конца 19 века знали, что при помощи бесконечного числа простых операций с множествами и функциями можно создавать очень патологические объекты. То, что эти простые операции можно интерпретировать, как простые динамические системы (примерно 60-е годы 20 века), для них шоком не стало, но поскольку физики воодушевились, грех было не пойти навстречу и не поисследовать. И напротив, гиперболические системы с их структурной устойчивостью математиков поразили, а физики, насколько я понимаю, к этому отнеслись довольно спокойно...
no subject
Во всяком случае, мои тексты о физике основаны, разумеется, на моем понимании, что такое физика.
no subject
И да, и нет. Тем не менее вопрос не схоластический или терминологический, а вполне существенный, - какие стандарты применять к понятию "доказательство". Написал уравнение - физик. Решил - ещё не математик: даже если ответ получился точный и в замкнутой форме, - он ещё не ответ, ибо изначальный вопрос ставился как-то содержательно, а не "написать формулу". Так что в вашем примере математики почти нет. Она появилась бы, если бы уравнение решалось не точно, а лишь асимптотически по какому-нибудь малому параметру (оценить сходимость и т.д.), либо вообще не решилось, а пришлось бы доказывать существование решения и корректность поставленной краевой задачи...
Давайте какой-нибудь другой пример обсудим. Скажем, в классической небесной механике со времён Ньютона физикам делать было нечего (в отличие от космологии). Можете ли вы привести пример того, как там произошли именно физические прорывы?
Математические прорывы, как раз, были, самый заметный, видимо, - КАМ-теория. Но при всех её небесно-механических последствиях она развивалась именно как математическая теория возмущения интегрируемых гамильтоновых систем. И доказательства там были сначала для вещественно-аналитических гамильтонианов, и лишь потом разобран был бесконечно- и конечно-гладкий случай, а уж для бесконечномерных интегрируемых систем (уравнений в частных производных) эту теорию совсем на нашей памяти доделывают. Тот же Толя Нейштадт, при всей его физической эрудиции и интуиции на самом деле занимается математическими задачами, - как переставить предел при эпсилон стремящемся к нулю и предел при Т стремящемся к бесконечности ;-))) И его работы, - это не "физические" аргументы (эти члены мы сохраним, а эти отбросим, после чего задача упрощается на порядок, а аргументация, почему именно так, а не иначе, идёт либо от "физической интуиции", либо от "с наблюдаемым ответом сходится"), а честные оценки...
no subject
Самое же главное - Вы пытаетесь доказать чересчур много. Ну, хорошо, классическая механика - это не физика, а математика, потому что основные уравнения известны. Так ведь и в квантоврй механике они известны. И в квантовой электродинамике. И почти везде. Что же вообще от физики остается при таком критерии? Как говорится - мне не жалко, дорогая, ешь, но надо же хоть чуть-чуть пытаться соответствовать общепринятой терминологии. Если квантовая теория конденсированного состояния - физика (там все основные уравнения точно известны, я их обычно студентам сразу выписываю - одной доски хватает с лихвой), то почему классическая механика - не физика?
Хорошо. Чтобы не быть голословным. Кажется, область приблизительно Ваша. Это - математическая работа? А это?
no subject
Свет надежды на понимание вспыхивает после появления системы (4), уж бог с ней, какими упрощениями она написана и какой смысл переменных u,v. Это система двух автономных уравнений второго порядка, т.е., векторное поле в (комплексном?) четырёхмерном пространстве в окрестности особой точки. Матрица линеаризации имеет две пары чисто мнимых сообственных значений, \pm i\omega и \pm i\Omega. Математику немедленно есть что сказать за этот сюжет: если между малой и большой омегами нет арифметических соотношений, то система (с точностью до малых высших порядков) распадается в два независимых уравнения, т.е., написанные кубические члены устраняются путём замены переменных. С другой стороны, если такие соотношения есть (кажется, когда одна из частот ровно вдвое больше или вдвое меньше другой, то резонанс присутствует именно в той форме, как написан, но можно оставить только один из этих членов по хорошему надо бы всё написать аккуратно, но я органически не способен вычислять без ошибок). Может быть, если соотношение частот 3:2, резонансные члены будут именно те, что написаны у вас. Но в любом случае в системе явно не хватает "внутренних резонансов" для каждой переменной отдельно, которые будут вне зависимости от арифметики соотношений между омегами. Это я так попытался описать нормальную форму Пуанкаре-Дюлака своими словами ;-)
Будет ли она интегрируемой? Скорее всего, нет (интегрируются нормальные формы с одним резонансным соотношением, а тут их как минимум два). Но можно попытаться свести задачу к системе из двух уравнений для двух резонансных мономов и посмотреть на неё незамутнённым взглядом.
Но ничего из этого вы не делаете, а возвращаетесь к изначальному представлению в виде волн и выводите (линеаризацией по малому параметру лямбда) какие-то уравнения на то, как комплексные амплитуды меняются со временем (оооочень медленно - в правой части кубы!). Соответственно, ответ математику непонятен ни формально, ни по существу.
Чтобы стало понятно математику, надо было бы стартовать не с физической задачи, а с математической: есть два ангармонических осциллятора, слабо связанных, при таких-то и таких-то предположениях о соотношении частот. Непременно оговорить, - гамильтонова ли задача, или есть трение (пускай и нелинейное). Без связи система вполне интегрируема, значит, надо проверять условия КАМ-теоремы. Если всё хорошо и большинство инвариантных торов сохраняются при малом возмущении, - никакого вообще перетока энергии нет. Вблизи резонанса тоже очень многое чего известно (не мне, - профессионалам!), если данный случай покрывается известными работами (про диффузию Арнольда или ещё что) - прекрасно, если нет, - вот тут-то и начинается самое интересное.
Надеюсь, вы не воспримете сказанное как попытку научить вас, как писать статьи, - я просто попытался объяснить, чем с моей точки зрения метаболизм математика отличается от метаболизма физика, что надо разжёвывать, а чего не надо.
no subject
no subject
Ниже вы перечислили некоторое количество "физических революций" в динамических системах. Конечно, обнаружить новый нетривиальный режим - это замечательно, но нетривиальность этих режимов поражает физиков, не математиков.
К примеру, аттрактор Лоренца. Тот факт, что "преобразование пекаря" (растянуть одномерный интервал и сложить вдвое) порождает хаотическую динамику на прямой - очевидно. Как только удалось в системе Лоренца построить трансверсаль так, что её преобразование Пуанкаре в себя "похоже" на преобразование пекаря, - вся загадочность этой бабочки исчезла для математиков. Мистика осталась - как удалось полиномами столь малой степени всего в 3Д реализовать такое преобразование Пуанкаре, и особенно трогательно то, что она появилась именно в гидродинамике... но это уже не к математикам или физикам, а к философам.
Отдельное аллаверды про революцию в математике, совершённую именно физиком ;-) Универсальность Фейгенбаума и её объяснение через ренормализацию - это действительно поразительно было. Смена вех. Интересно, насколько эту революционность осознают физики?
no subject
Ваше замечание про Лоренца лишний раз подчеркивает радикальное отличие подхода физиков и математиков к одним и тем же объектам. Физикам (настоящим) совершенно наплевать, насколько тривиальные или нетривиальные математические структуры лежат за неким фактом, важным для нашего объяснения природы. В этом смысле, (относительная) реалистичность модели Лоренца с точки зрения реального описания процессов в реально существующей земной атмосфере - вот что произвело впечатление на широкие круги физиков.
Ваш вопрос был - чем я могу подтвердить свое утверждение, что классическая механика в двадцатом веке остается процветающим разделом физики. Я подтвердил примерами. Работы Ферми - Паста - Улама и Френкеля - Конторовой целиком относятся к классической механике, ничего квантового там и близко нет, и это очень важный вклад в физику. Тем самым, полагаю, прмеры к моему исходному утверждению приведены. Способность или неспособность математиков писать кипятком по поводу этих работ, как понимаете, тут полностью иррелевантна. Важно, что они открыли новые пути в физике. Только это я и хотел сказать. И, по-моему, сказал.
no subject
А вот интересно: в том же круге задач (простые уравнения + многочастичные системы -> сложное поведение) математики бьются над доказательством эргодичности идеального газа из равных упругих шариков, и успех пока очень скромный. Физиков такое положение дел не смущает? Ведь если "мы всё про задачу понимаем" (а чего мы не понимаем про идеальный газ?), то почему она так сопротивляется?
no subject
no subject
Тесен мир
Re: Тесен мир