И еще одна работа из важных вышла, наконец

[flying_bear]

Equilibration and thermalization of classical systems

Это про то, что если, как и положено в статфизике, ставить вопрос о поведении подсистемы большей системы, никакой особой разницы между системами с хаотическим движением и системами с регулярным движением нет. Обычной эргодичности вполне достаточно.

Круто, чё.

Comments

[alien3.livejournal.com]

Поздравляю. :-)

[flying-bear.livejournal.com]

Спасибо!

[walewski33.livejournal.com]

Мда, попробуйте тут объяснить аспирантам, что оценивая шум на достаточно разумной области сердца , можно приложить эту модель ко всей сердечной последовательности, считая процесс эргодическим...

[flying-bear.livejournal.com]

А можно? Я про шум в области сердца (в математическом смысле) ничего не знаю. Наверняка, колоссальная литература существует.

[walewski33.livejournal.com]

Можно, и существует, естественно, вопрос не в этом, а в том что современные Компютер Сци мастерс не знают, что такое эргодический случайный процесс.

[rus4.livejournal.com]

Интересно.

А как теорему (или гипотезу) про динамические системы это можно сформулировать?

[termometr.livejournal.com]

сейчас прольется чья-то кровь...

[flying-bear.livejournal.com]

Можно попытаться. Но мы не обучены формулировать теоремы, или даже гипотезы. Там есть два намека, которые могут быть использованы в такой формулировке - что "патологические" начальные условия имеют меру ноль и про некоммутативность операторов Лиувилля для полной системы и для подсистемы... Вот пусть теперь математики с этим дальше и работают.

[rotozeev.livejournal.com]

А разве можно делать такие довольно общие выводы всего лишь на основе численного моделирования двух конкретных систем?

[flying-bear.livejournal.com]

Если хорошо понимаешь, что делаешь, и две конкретные системы выбрал правильно, то, видимо, можно.

С той же точностью как - а можно ли делать выводы о хиггсоподобном бозоне на основании эксперимента, сделанного только в Женеве? Может, на других географических широтах и долготах законы физики другие?

Обычный вопрос про любой эксперимент, хоть реальный, хоть численный.

[eugene-koonin.livejournal.com]

так-таки да, круто
настолько что и биологу понятно

[flying-bear.livejournal.com]

Конечно, это не то, что греет сердце члена профсоюза.
Численные результаты без настоящей теории.

Но - некоторый необходимый этап.

[walewski33.livejournal.com]

A mojno durackij vopros. Vy soavtor stat'ji?

[kobak.livejournal.com]

С интересом прочел расширенное вступление, которого не было в архивной версии. И вообще стало подробнее и понятнее.

Если можно, то такой вопрос. Я правильно понимаю, что Ваша работа -- в каком-то смысле ответ Ферми-Паста-Уламу? Они моделировали систему частиц с нелинейным взаимодействием, расчитывая увидеть термализацию, но термализации не происходило (как я понимаю, из-за того, что их система оказалась KdV-подобной, или что-то в этом роде). А Вы говорите: нелинейность тут вообще не главное, им нужно было бы смотреть на малую подсистему, и в ней бы все термализовалось -- или нет? Я плохо знаю суть дела с этим "парадоксом", так что прошу прощения, если сморозил глупость.

И еще. Основываясь на Ваших примерах, наверное, можно предполагать, что если взять бильярдный стол с N=10000 шариков, запустить их случайным образом, а потом следить за подансабмлем с N_s=100, то тоже каноническое распределение получится. Но ведь если следить за всем ансаблем целиком (N_s = N), то он тоже, наверное, термализуется?..

[flying-bear.livejournal.com]

Ответ не столько Ферми-Паста-Уламу (они люди простые, их работа написана по методу что вижу, о том и пою), сколько тем, кто делал неверные статфизические выводы из правильного решения механической задачи. В частности, пригожинской школе и всей этой программе "субдинамики", которая очень уж напирала на роль не эргодичности (как думали классики), а куда более сильного свойства перемешивания. А потом, обломавшись, они заскулили, что необратимость нужно, видите ли, постулировать на фундаментальном уровне.

Важно, что еть члены взаимодействия между системой и окружением. С формальной точки зрения, это требование, чтобы операторы Лиувилля системы и подсистемы не коммутировали, то есть, чтобы нормальные моды системы и подсистемы (в случае их интегрируемости) были разные. Если просто выделять подсистему невзаимодействующих частиц, то есть, просто идеальный газ разбить на два подгаза, там это условие не выполняется. Важно, чтобы был член H_SE в гамильтониане, который смешивает нормальные моды. В случае бильярда - чтобы шарики рассеивались не только на стенках, но и друг на друге.

[shkrobius.livejournal.com]

А не избыточно ли требование некоммутативности? Интуитивно, "выделение" подсистемы уже подразумевает требуемое. Можно ли "разбить" систему на две подсистемы, используя лишь коммутативные операторы?

[flying-bear.livejournal.com]

Если гамильтониан взаимодейстия равен нулю, то энергия центральной подсистемы точно сохраняется, и ее распределение никакая не экспонента, а дельта-функция. Если мы описываем интегрируемую систему в переменных действие-угол, то это, по сути, идеальный газ. Некоммутирующие операторы Лиувилля значат, что мы не рассматриваем тривиальный случай, когда подсистема - это некоторые частицы этого самого газа. Совершенно очевидно, что в последнем случае никакого распределения по энергии подсистемы нет, она просто константа.

[shkrobius.livejournal.com]

Это я понимаю.

Чтобы пометить атомы идеального газа (в Вашем примере), потребуется провзаимодействовать их, например, с фотонами таким образом, чтобы их можно было различить. Нот тогда радиация становится частью системы, появляется непрямое взаимодействие между атомами (т.к. фотонных мод конечное число) и прежняя система превращается в подсистему большей, причем некоммутатирующую. Мне представляется, что такая ситуация будет общей. Выделение подсистемы - физический, а не ментальный процесс. В Вашем численном эксперименте не сама система создает оператор "выбирающий" подсистему, и не eе взаимодействие с другой системой, а сам экспериментатор. В таком случае, требование уместно; но такая ситуация искусственна. В менее идеализированном случае, такое требование окажется избыточным, т.к. выбрать/пометить подсистему иначе невозможно.

[flying-bear.livejournal.com]

Чем же она искусственная? Допустим, у нас экспериментальная установка, которая реагирует на электронные спины и не регирует на ядерные (ЭПР). Тогда электронные спины система, а ядерные термостат (этот пример мы подробно разбирали в предыдущих работах, по квантовому случаю). Или реагирует на твердую материю и не реагирует на фотоны, тогда фотоны - термостат. В общем-то, все физические приборы избирательные.

Все это, конечно, тоже очевидно, так что, боюсь, я просто не понимаю вопрос. Поясните?

[shkrobius.livejournal.com]

Приборы избирают подсистемы потому, что нет коммутирования операторов. Если бы было иначе, они не смогли бы выделить подсистему.

В системе с ЭПР, у Вас уже не только ядра и электроны, но и микроволновые кванты, переворачивающие спины. Система становится больше, и электронная подсистема становится подсистемой этой большей системы, и тем выделяется. Ядра уже термостат не только для электронных спинов, но и для системы фотоны + электронные спины в резонаторе.

Сам акт выделения системы уже вносит некоммутативность. Пока электроны не взаимодействуют с микроволновым полем, подсистемы нет. Если ядра вообще никак не взаимоидействуют ни с тем ни с другим, то Вы не знаете об их существовании, и говорить о подсистеме невозможно. Если у Вас есть источник такого знания, значит есть прибор, нарушающий коммутативность. Мне кажется физически невозможным выделение подсистемы без внесения некоммутативности.

[flying-bear.livejournal.com]

С формальной точки зрения это безусловно не так. Пусть у вас имеется система невзаимодействующих магнитных моментов, двух типов (с разными g-факторами). Можно подобрать резонансную частоту так, чтобы фотоны взаимодейстовали с одной подсистемой и не взаимодействовали со второй. Тогда мы пробуем только одну подсистему, но вторая никоим образом термостатом для нее не является. Взаимодействия-то между подсистемами нет. Это не тот случай, который релевантен для статфизики, и не тот, что мы рассматриваем. Вот он и исключается требованием некоммутативности операторов Лиувилля для подсистемы и для всей системы.

[shkrobius.livejournal.com]

Вернусь к Вашему первому примеру: идеальный газ из частиц двух сортов. Допустим, я "выделяю" подсистему, делая дырку в стене так, чтобы проходила только меньшая частица. С формальной точки зрения (идеальная дырка) все работает, но реально возникнет ситуация, когда меньшая частица не сможет пройти через дырку, когда в ней залипла большая. А такая ситуация возникнет всегда, если дырка неидеальна, а дырку еще ведь надо в чем-то сделать. Сразу возникнет некоммутативность операторов Луивилля для подсистем, т.к. возникает условная вероятность прохождения. Неважно, что прямого взаимодействия между частицами нет. Речь идет о коммутации операторов Лиувилля, а не Гамильтона.

В Вашем примере похожая проблема. Вы измеряете, как микроволновые фотоны поглощаются системой. Это резонансный процесс и всегда идет диссипация нас обоих спиновых моментах, хотя она может быть чрезвычайно малой (как может быть малой потеря прохождения меньших частиц через дырку, когда в ней залипла большая) для спина вне резонанса. Только когда Т2->0 можно утверждать, что такой диссипации нет, но это ведь опять идеализация, как идеальная дырка.

В обоих случаях, чтобы утверждать, что операторы по-прежнему коммутируют, Вы должны идеализировать систему, пренебрегая каким-то взаимодействием помимо того, которым Вы изначально хотели бы пренебречь. Это взаимодействие может быть очень мало, но как бы мало оно не было, онo нарушит коммутативность. Поэтому мне кажется, что требование некоммутативности излишне. Оно трбуется только тогда, когда выделение подсистемы идеализировано, как в Ваших примерах.

[flying-bear.livejournal.com]

То, что в системах общего положения все "и так" некоммутативно, я понимаю. Речь о насколько возможно более аккуратной формулировке.

[shkrobius.livejournal.com]

Наверно, такая формулировка невозможна без столь же аккуратной формулировки того, что именно называется "выделением подсистемы". А то ведь получится, что возможен демон Максвелла, занятый выделением подсистем, как в обсуждаемых примерах.

А статья замечательная, читал еще на архиве.

Очень красиво.

[kobak.livejournal.com]

Да, про необходимость взаимодействия между системой и окружением в Ваших примерах я понимаю. Не понимаю вот чего: термализируются ли N>>1 шариков на бильярдном столе (при условии, что они рассеиваются и на стенках, и друг на друге), если мы не выделяем никакой подсистемы, а смотрим на всю систему целиком? Интуитивно мне кажется, что да.

[flying-bear.livejournal.com]

В смысле микроканонического распределения - да. Но это чуть-чуть другая задача, чем каноническое распределение для открытой системы.

[kobak.livejournal.com]

А! Да, конечно, я выше глупость спрашивал. У всей системы целиком энергия постоянна, поэтому канонического распределения никакого быть не может. Я имел в виду, что энергия каждого отдельного шарика будет распределена по Больцману, но это и означает выделить подсистему (из одного шарика).

[kot-pafnusha.livejournal.com]

Ага, термализуются - кОт студентом такой трех-мерный биллиард моделировал давным-давно )!

А вот при размерах шарика больше расстояния между краями шаров
- там от простого распределения Максвела было отличие.

[mikev.livejournal.com]

Интересно.
А осцилляторы обязательно было моделировать? Неужели не получилось аналитически? В чем тут сложность?

[flying-bear.livejournal.com]

Не могу сказать, в чем была бы сложность у Вас, если бы Вы попробовали решать эту задачу аналитически. Моя была в том, что я не знал (и не знаю) даже, с чего начать. Если Вы знаете, как, несомненно, стоит попробовать.

[mikev.livejournal.com]

Если задача состоит в том, чтобы обосновать каноническое распределение для малой подсистемы, то это несложно. В общем виде это, кажется, было еще в старинной книжке А.Я.Хинчина, конкретно для системы осцилляторов это несколько неоригинальных шагов с предельными теоремами, случайными векторами и положительно определенными квадратичными формами.
Если хочется получить еще что-то, то я этого не понял, увы.

[flying-bear.livejournal.com]

Можно посмотреть статью Чирикова в Found. Phys. у нас по ссылке.

Здесь нет никаких случайных процессов. Чисто динамическая задача, свойства индивидуальной траектории.

[mikev.livejournal.com]

Случайных процессов в обычном смысле действительно нет, но поскольку вы разыгрываете начальные условия случайным образом, вектор в фазовом пространстве будет изначально случайный. Если его спроецировать на гармоники подсистемы, амплитуды этих гармоник будут иметь гауссовское распределение в силу какой-нибудь правильно выбранной предельной теоремы.
Энергия подсистемы представляет собой положительно определенную квадратичную форму. Чтобы получить энергию, эту форму нужно свернуть с нашим случайными фазовым вектором. Получится распределение хи-квадрат для энергии при известном среднем и известной дисперсии, а оно при большом Ns даст гауссово распределение, которое у вас на рис.5.
На первый взгляд, все это реализуемо и несложно.
Чирикова я читал когда-то очень давно, там вроде бы про хаос, а нам хаос не нужен.

[flying-bear.livejournal.com]

Нет. Речь об эргодических свойствах одной конкретной траектории. Никакого усреднения по начальным состояниям нет. Поэтому это не та задача.

Вы задали вопрос, о чем речь, я дал Вам ссылку. Вы не хотите посмотреть. Чем еще помочь, тогда не знаю.

[mikev.livejournal.com]

прошу извинить за беспокойство