К дискуссии про то, как учить категориям. Ответ тт. Шкробиусу и Кобаку

[flying_bear]

Про категории ни уха, ни рыла, но скажу: (это ответ Шкробиусу на http://avva.livejournal.com/2280584.html?thread=75254664#t75254664). Там какие-то фортеля со скринингом комментов (UPDATE: а, нет, кажется, нет уже никаких фортелей), пусть здесь побудет, где его, по крайней мере, точно смогут прочесть те, кому он предназначен, shkrobius и kobak.

Дискуссия действительно крайне интересная. Просто, чтоб способствовать взаимопониманию собеседников, давайте отвечу на те вопросы в Вашем обмене мнениями с Кобаком, на которые, видимо, могу ответить только я [поскольку я там был помянут в обсуждении].

В двух словах - я не знаю теорию категорий и имею очень смутное представление о К-теории, но я хотел бы это знать. Думаю, то, что я ничего этого не знаю, очень сильно ограничивает мои возможности как физика.

Статью Хорава нашел интересной, но непонятной. Однако, написанную куда менее формально работу http://arxiv.org/abs/cond-mat/0611347 знаю очень хорошо, и она на самом деле важна для графена. "Топологическая" часть доказательства там существенна. Например, из нее следует, что многочастичная теория без нарушенной симметрии относительно инверсии и обращения времени тоже должна давать бесщелевой спектр в дираковской точке.

Теорема об индексе применительно к графену - это очень простой случай, там даже можно явно построить все нулевые моды. В книжке про графен, которую сейчас пишу, я так это все дело и представляю, по-другому просто не смогу. Да и не поймут-с - Азия-с. Но предпочел бы представлять, ссылаясь на общую теорему. В техническом смысле я не понимаю "третье" доказательство теоремы Атийя-Зингера (пытался читать, впрочем, и на уровне собаки, которая понимает, но объяснить не может, что-то забрезжило), но понимаю, что оно гораздо более по делу, чем основанное на расчете индекса через ядро уравнения теплопроводности (хотя последнее ближе физикам, и именно его в физических книжках и рассказывают).

То есть: я не знаю К-теории, но очень хотел бы знать. Вероятно, нужны хорошие изложения для физиков конденсированного состояния. Скажем, в случае алгебраической топологии был, в конце 1970х, замечательный обзор Мермина по топологической классификации дефектов. Его я выучил в свое время досконально (а потом уже смог читать какие-то относительно несложные математические книжки, из которых, в свою очередь, узнал и про теорему об индексе). Но я тогда был значительно моложе.

Я не занимаюсь трехмерными топологическими изоляторами именно потому, что чувствую недостаточную математическую подготовку. И воспринимаю это как проблему. Для двумерных топологических изоляторов, квантового спин-Холл эффекта и т.п. достаточно физической интуиции, почерпнутой из графена. Для трехмерных уже нет. И это, несомненно, мейнстримная физика, я согласен с Вашей оценкой.

Comments

[flying-bear.livejournal.com]

> правильно ли мне кажется, что среди физиков, занимающихся физикой "вокруг нас", современную математику (о которой идет речь) не знает практически никто, - в отличие от физиков, которые занимаются струнами и т.п.?

Мне кажется, да. Отчасти, это самоподдерживающийся процесс. Кто-то должен разобраться (лучше бы, не один человек, а несколько) и научить остальных - (1) показав, что это полезно и (2) написав хороший обзор, или что-то в таком духе. Тут, как при фазовых переходах первого рода, нужен зародыш новой фазы.

Ну и, потом, голова не резиновая. Успешная работа в физике конденсированного состояния требует основательного знания "химии" (свойств конкретных материалов). Требовать еще и знания достаточно абстрактных разделов современной математики... Наверно, это возможно, но не очень вероятно. Возможно, я бы смог, если бы мне в некоторых отношениях больше повезло. Например, если бы в тот момент, когда я очень серьезно относился к налаживанию взаимодействия между физиками и математиками, мне попались бы математики посильнее, и более заинтересованные в таком взаимодействии.

[polwechsel.wordpress.com (from livejournal.com)]

а вот интересно, в связи с точно интегрируемыми моделями в свое время возникли различные интересные алгебраические структуры (квантовые группы, главным образом)
потом различные модели, типа изинга, являются источником сложных математических задач, которые решаются довольно хардкорным и продвинутым анализом (с. смирнов, например)
это имеет какое-то приложение или интерес в физике?

[flying-bear.livejournal.com]

Имеет, конечно. Проблема в том, что люди, которые понимают в этой хардкорной математике, обычно не очень знают эксперимент, да и не очень им интересуются. И наоборот. Мне кажется, физика много теряет от такого разрыва, но как его преодолеть, я не знаю. Нет сейчас людей, которые могли бы действительно работать переводчиками на границе двух миров.

[polwechsel.wordpress.com (from livejournal.com)]

может проблема даже в самом отношении к науке, в культивируемых вкусах или механизмах популяризации каких-то тем и вопросов.
часто можно услышать от, грубо говоря, любителей К-теории, незнание а то и пренебрежение анализом. иногда бывают конечно величины, которые простреливают эти разграничения (теренса тао например уважают все)
то есть толковый математик, питающий интерес к физике с вероятностью почти сто процентов окажется затянут струнщиками. может конечно совпасть, что у кого-то друг твердотельщик и нашлись общие вопросы, но в целом система не располагает.
в физике подозреваю тоже есть что-то подобное (ктп и "более приземленное").
получается такая теория заговора или даже снобизма, наверное это тысячу раз здесь уже обсуждалось, впрочем.

[flying-bear.livejournal.com]

Люди привыкли искать не где потеряли, а где светлее. Математик, интересующийся физикой, почти наверняка будет затянут в те разделы физики, которые наиболее похожи на математику. Являются ли эти разделы наиболее интересными и важными с точки зрения внутренней логики развития самой физики - другой вопрос. Вообще говоря, наверно, нет.