![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
Про категории ни уха, ни рыла, но скажу: (это ответ Шкробиусу на http://avva.livejournal.com/2280584.html?thread=75254664#t75254664). Там какие-то фортеля со скринингом комментов (UPDATE: а, нет, кажется, нет уже никаких фортелей), пусть здесь побудет, где его, по крайней мере, точно смогут прочесть те, кому он предназначен,
shkrobius и
kobak.
Дискуссия действительно крайне интересная. Просто, чтоб способствовать взаимопониманию собеседников, давайте отвечу на те вопросы в Вашем обмене мнениями с Кобаком, на которые, видимо, могу ответить только я [поскольку я там был помянут в обсуждении].
В двух словах - я не знаю теорию категорий и имею очень смутное представление о К-теории, но я хотел бы это знать. Думаю, то, что я ничего этого не знаю, очень сильно ограничивает мои возможности как физика.
Статью Хорава нашел интересной, но непонятной. Однако, написанную куда менее формально работу http://arxiv.org/abs/cond-mat/0611347 знаю очень хорошо, и она на самом деле важна для графена. "Топологическая" часть доказательства там существенна. Например, из нее следует, что многочастичная теория без нарушенной симметрии относительно инверсии и обращения времени тоже должна давать бесщелевой спектр в дираковской точке.
Теорема об индексе применительно к графену - это очень простой случай, там даже можно явно построить все нулевые моды. В книжке про графен, которую сейчас пишу, я так это все дело и представляю, по-другому просто не смогу. Да и не поймут-с - Азия-с. Но предпочел бы представлять, ссылаясь на общую теорему. В техническом смысле я не понимаю "третье" доказательство теоремы Атийя-Зингера (пытался читать, впрочем, и на уровне собаки, которая понимает, но объяснить не может, что-то забрезжило), но понимаю, что оно гораздо более по делу, чем основанное на расчете индекса через ядро уравнения теплопроводности (хотя последнее ближе физикам, и именно его в физических книжках и рассказывают).
То есть: я не знаю К-теории, но очень хотел бы знать. Вероятно, нужны хорошие изложения для физиков конденсированного состояния. Скажем, в случае алгебраической топологии был, в конце 1970х, замечательный обзор Мермина по топологической классификации дефектов. Его я выучил в свое время досконально (а потом уже смог читать какие-то относительно несложные математические книжки, из которых, в свою очередь, узнал и про теорему об индексе). Но я тогда был значительно моложе.
Я не занимаюсь трехмерными топологическими изоляторами именно потому, что чувствую недостаточную математическую подготовку. И воспринимаю это как проблему. Для двумерных топологических изоляторов, квантового спин-Холл эффекта и т.п. достаточно физической интуиции, почерпнутой из графена. Для трехмерных уже нет. И это, несомненно, мейнстримная физика, я согласен с Вашей оценкой.
![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif)
![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif)
Дискуссия действительно крайне интересная. Просто, чтоб способствовать взаимопониманию собеседников, давайте отвечу на те вопросы в Вашем обмене мнениями с Кобаком, на которые, видимо, могу ответить только я [поскольку я там был помянут в обсуждении].
В двух словах - я не знаю теорию категорий и имею очень смутное представление о К-теории, но я хотел бы это знать. Думаю, то, что я ничего этого не знаю, очень сильно ограничивает мои возможности как физика.
Статью Хорава нашел интересной, но непонятной. Однако, написанную куда менее формально работу http://arxiv.org/abs/cond-mat/0611347 знаю очень хорошо, и она на самом деле важна для графена. "Топологическая" часть доказательства там существенна. Например, из нее следует, что многочастичная теория без нарушенной симметрии относительно инверсии и обращения времени тоже должна давать бесщелевой спектр в дираковской точке.
Теорема об индексе применительно к графену - это очень простой случай, там даже можно явно построить все нулевые моды. В книжке про графен, которую сейчас пишу, я так это все дело и представляю, по-другому просто не смогу. Да и не поймут-с - Азия-с. Но предпочел бы представлять, ссылаясь на общую теорему. В техническом смысле я не понимаю "третье" доказательство теоремы Атийя-Зингера (пытался читать, впрочем, и на уровне собаки, которая понимает, но объяснить не может, что-то забрезжило), но понимаю, что оно гораздо более по делу, чем основанное на расчете индекса через ядро уравнения теплопроводности (хотя последнее ближе физикам, и именно его в физических книжках и рассказывают).
То есть: я не знаю К-теории, но очень хотел бы знать. Вероятно, нужны хорошие изложения для физиков конденсированного состояния. Скажем, в случае алгебраической топологии был, в конце 1970х, замечательный обзор Мермина по топологической классификации дефектов. Его я выучил в свое время досконально (а потом уже смог читать какие-то относительно несложные математические книжки, из которых, в свою очередь, узнал и про теорему об индексе). Но я тогда был значительно моложе.
Я не занимаюсь трехмерными топологическими изоляторами именно потому, что чувствую недостаточную математическую подготовку. И воспринимаю это как проблему. Для двумерных топологических изоляторов, квантового спин-Холл эффекта и т.п. достаточно физической интуиции, почерпнутой из графена. Для трехмерных уже нет. И это, несомненно, мейнстримная физика, я согласен с Вашей оценкой.
no subject
Date: 2010-11-13 10:44 am (UTC)no subject
Date: 2010-11-13 10:47 am (UTC)(Обещал позвонить, и не звоню - пока никак не могу раскидать совсем уж неотложные дела. Но, как понимаю, это ничего не тормозит - у тебя ведь тоже не все еще готово, да? Или уже тормозит?)
no subject
Date: 2010-11-13 10:54 am (UTC)Не, не тормозит... Кроме всего прочего, мне это набивать негде. Но вроде в скором будущем такая возможность появится.
no subject
Date: 2010-11-13 11:04 am (UTC)no subject
Date: 2010-11-13 11:09 am (UTC)no subject
Date: 2010-11-13 01:08 pm (UTC)Для математиков это скорее необычайно удобный язык (хотя в последнее время появилась надобность с "высших категориях",
а это уже очень нетривиальная математика); математику этот язык захватывает всё больше и больше (хотя в анализе до сих пор,
насколько я понимаю, не используется). Но для Атьи-Зингера всё-таки это не нужно. Станет ли это по-настоящему
нужным для той математики, которая реально используется в физике, это большой вопрос.
no subject
Date: 2010-11-13 01:25 pm (UTC)no subject
Date: 2010-11-13 01:28 pm (UTC)Континуальный интеграл вместо К-теории
Date: 2010-11-13 03:53 pm (UTC)Я когда-то слышал, что доказательство самого Атии-Зингера, использующее К-теорию, слишком сложное и с тех пор многократно упрощалось. Рекорд будто бы поставил молодой Эзра Гетцлер, уместивший доказательство на полстраницы. А физикам, кажется, надо доказывать эту теорему так: придумать ТКТП, гильбертово пространство которой совпадает с искомыми нулевыми модами, и посчитать её статсумму в пределе малого времени (то есть высокой температуры), используя, например, континуальный интеграл: основной вклад в него будет от постоянных траекторий, то есть сведётся к интегралу по конфигурационному пространству. Как-то так.
Re: Континуальный интеграл вместо К-теории
Date: 2010-11-13 04:29 pm (UTC)Но мне не нужно доказывать эту теорему. Чего ее доказывать, тем более, физику. Мне нужно понять кое-какие идеи и подходы, которые, возможно, были бы полезны в моей науке. А, возможно, и нет. Пока не потратишь время, не поймешь.
no subject
Date: 2010-11-13 09:35 pm (UTC)Thank you for your consideration in duplicating the comment.
no subject
Date: 2010-11-13 09:55 pm (UTC)no subject
Date: 2010-11-13 10:49 pm (UTC)Интересно: правильно ли мне кажется, что среди физиков, занимающихся физикой "вокруг нас", современную математику (о которой идет речь) не знает практически никто, -- в отличие от физиков, которые занимаются струнами и т.п.? Интересно, почему так. Я совершенно не берусь судить в целом, но вот в Питере среди студентов ситуация вроде бы именно такая: те немногие из "физиков", кто интересуется, условно говоря, К-теорией, стремятся заняться математической физикой в духе струн. Несколько лет назад в ПОМИ возник т.н. "физматклуб", где можно слушать лекции по современной математике. Туда ходят люди с физфаковской кафедры физики высоких энергий (ходил и я). Но не припомню там слушателей с кафедры физики твердого тела...
Впрочем, может быть, это очевидно: люди с любовью к абстрактной математике, скорее будут увлечены "математической физикой" ("физической математикой"?), а не "физикой вокруг нас". Что хуже, так это атмосфера некоторого пренебрежения к физике вокруг нас. Если бы её не было, то, может быть, кто-то и увлекся бы.
no subject
Date: 2010-11-13 11:22 pm (UTC)Мне кажется, да. Отчасти, это самоподдерживающийся процесс. Кто-то должен разобраться (лучше бы, не один человек, а несколько) и научить остальных - (1) показав, что это полезно и (2) написав хороший обзор, или что-то в таком духе. Тут, как при фазовых переходах первого рода, нужен зародыш новой фазы.
Ну и, потом, голова не резиновая. Успешная работа в физике конденсированного состояния требует основательного знания "химии" (свойств конкретных материалов). Требовать еще и знания достаточно абстрактных разделов современной математики... Наверно, это возможно, но не очень вероятно. Возможно, я бы смог, если бы мне в некоторых отношениях больше повезло. Например, если бы в тот момент, когда я очень серьезно относился к налаживанию взаимодействия между физиками и математиками, мне попались бы математики посильнее, и более заинтересованные в таком взаимодействии.
no subject
Date: 2010-12-02 10:41 pm (UTC)потом различные модели, типа изинга, являются источником сложных математических задач, которые решаются довольно хардкорным и продвинутым анализом (с. смирнов, например)
это имеет какое-то приложение или интерес в физике?
no subject
Date: 2010-12-02 10:56 pm (UTC)no subject
Date: 2010-12-02 11:12 pm (UTC)часто можно услышать от, грубо говоря, любителей К-теории, незнание а то и пренебрежение анализом. иногда бывают конечно величины, которые простреливают эти разграничения (теренса тао например уважают все)
то есть толковый математик, питающий интерес к физике с вероятностью почти сто процентов окажется затянут струнщиками. может конечно совпасть, что у кого-то друг твердотельщик и нашлись общие вопросы, но в целом система не располагает.
в физике подозреваю тоже есть что-то подобное (ктп и "более приземленное").
получается такая теория заговора или даже снобизма, наверное это тысячу раз здесь уже обсуждалось, впрочем.
no subject
Date: 2010-12-02 11:18 pm (UTC)no subject
Date: 2010-11-14 01:44 am (UTC)Думается, что это отражает тот факт, что нет прямой зависимости между современностью математики и широтой охватываемых задач. Сравним двух гипотетических физиков. Один прекрасно знает ТФКП и только лишь общее знакомство с теорией групп, другой прекрасно знает теорию групп, а из комплексных чисел знает только сложение с умножением и, например, понятия не имеет о контурных интегралах, аналитическом продолжении и т.п. Какой из этих двух физиков будет более универсальным? Я бы поставил на первого. А вот кому из них, при прочих равных, удастся решить более сложную задачу? Наверное второму, другое дело, что такая задача ему может и не попасться.
В ФВН требуется некое оптимальное сочетание гибкости подходов и мощи, поскольку в огромном числе естественно возникающих задач исходные математические объекты достаточно простые, но представлены в экстенсивно сложном контексте, например, сложное дифференциальное уравнение. _Иногда_ оказывается, что эта сложность переводится в сложный объект, но в простом контексте. Красивый пример здесь - особенности ван Хова. Вот тогда современная математика оказывается у дел, но проблема именно в этом _иногда_. В теории же струн все объекты искусственно сконструированы, поэтому правила игры совсем другие.
no subject
Date: 2010-11-14 10:00 am (UTC)Я бы даже сказал - искусственно сконструированы таким образом, чтобы они были связаны с современной математикой.
Сейчас в теории конденсированного состояния происходит некое оживление с "голографическим принципом", AdS-CFT соответствием и т.п. Пытался слушать несколько докладов, никогда не мог понять ни мотивации, ни результатов. Ничего вообще. Такого у меня не было, даже когда слушал доклады по теории высоких энергий, и даже по струнам как таковым. Поэтому есть некоторое ощущение обмана. Ну, примерно, такое, когда в музее современного искусства видишь кучу ржавых гвоздей, выдаваемых за произведение искусства. Причем, вполне возможно, что деятельность вполне осмысленная, просто мне попадались не самые удачные представители. Встречусь с умным человеком, занимающимся этими упражнениями, и он мне чего-нибудь объяснит - мнение изменю. А пока так.
no subject
Date: 2010-11-14 04:24 pm (UTC)Так-то под специально придуманную задачу можно какую угодно математику приложить.