К дискуссии про то, как учить категориям. Ответ тт. Шкробиусу и Кобаку

[flying_bear]

Про категории ни уха, ни рыла, но скажу: (это ответ Шкробиусу на http://avva.livejournal.com/2280584.html?thread=75254664#t75254664). Там какие-то фортеля со скринингом комментов (UPDATE: а, нет, кажется, нет уже никаких фортелей), пусть здесь побудет, где его, по крайней мере, точно смогут прочесть те, кому он предназначен, shkrobius и kobak.

Дискуссия действительно крайне интересная. Просто, чтоб способствовать взаимопониманию собеседников, давайте отвечу на те вопросы в Вашем обмене мнениями с Кобаком, на которые, видимо, могу ответить только я [поскольку я там был помянут в обсуждении].

В двух словах - я не знаю теорию категорий и имею очень смутное представление о К-теории, но я хотел бы это знать. Думаю, то, что я ничего этого не знаю, очень сильно ограничивает мои возможности как физика.

Статью Хорава нашел интересной, но непонятной. Однако, написанную куда менее формально работу http://arxiv.org/abs/cond-mat/0611347 знаю очень хорошо, и она на самом деле важна для графена. "Топологическая" часть доказательства там существенна. Например, из нее следует, что многочастичная теория без нарушенной симметрии относительно инверсии и обращения времени тоже должна давать бесщелевой спектр в дираковской точке.

Теорема об индексе применительно к графену - это очень простой случай, там даже можно явно построить все нулевые моды. В книжке про графен, которую сейчас пишу, я так это все дело и представляю, по-другому просто не смогу. Да и не поймут-с - Азия-с. Но предпочел бы представлять, ссылаясь на общую теорему. В техническом смысле я не понимаю "третье" доказательство теоремы Атийя-Зингера (пытался читать, впрочем, и на уровне собаки, которая понимает, но объяснить не может, что-то забрезжило), но понимаю, что оно гораздо более по делу, чем основанное на расчете индекса через ядро уравнения теплопроводности (хотя последнее ближе физикам, и именно его в физических книжках и рассказывают).

То есть: я не знаю К-теории, но очень хотел бы знать. Вероятно, нужны хорошие изложения для физиков конденсированного состояния. Скажем, в случае алгебраической топологии был, в конце 1970х, замечательный обзор Мермина по топологической классификации дефектов. Его я выучил в свое время досконально (а потом уже смог читать какие-то относительно несложные математические книжки, из которых, в свою очередь, узнал и про теорему об индексе). Но я тогда был значительно моложе.

Я не занимаюсь трехмерными топологическими изоляторами именно потому, что чувствую недостаточную математическую подготовку. И воспринимаю это как проблему. Для двумерных топологических изоляторов, квантового спин-Холл эффекта и т.п. достаточно физической интуиции, почерпнутой из графена. Для трехмерных уже нет. И это, несомненно, мейнстримная физика, я согласен с Вашей оценкой.

Comments

[marina_p]

Обычная топологическая К-теория -- это очень просто. Могу попробовать объяснить :-)

[flying-bear.livejournal.com]

Надеюсь, приедешь все-таки (в начале следующего года?), и объяснишь. На самом деле, очень на это рассчитываю.

(Обещал позвонить, и не звоню - пока никак не могу раскидать совсем уж неотложные дела. Но, как понимаю, это ничего не тормозит - у тебя ведь тоже не все еще готово, да? Или уже тормозит?)

[marina_p]

Я тоже надеюсь :-)

Не, не тормозит... Кроме всего прочего, мне это набивать негде. Но вроде в скором будущем такая возможность появится.

[orleanz.livejournal.com]

извините за несколько наивный вопрос - это не Вы недавно получили нобелевскую премию за графен?

[flying-bear.livejournal.com]

Нет, не я.

[sasha-br.livejournal.com]

На самом деле про категории мне кажется, что пока что физикам (кроме "морских") наверняка можно без них обойтись.
Для математиков это скорее необычайно удобный язык (хотя в последнее время появилась надобность с "высших категориях",
а это уже очень нетривиальная математика); математику этот язык захватывает всё больше и больше (хотя в анализе до сих пор,
насколько я понимаю, не используется). Но для Атьи-Зингера всё-таки это не нужно. Станет ли это по-настоящему
нужным для той математики, которая реально используется в физике, это большой вопрос.

[flying-bear.livejournal.com]

Там в дискуссии вопрос уточнился до К-теории - нужна ли физикам К-теория.

[flying-bear.livejournal.com]

То есть, я имею в виду - в этой конкретной ветке уточнился.

Континуальный интеграл вместо К-теории

[clovis3.livejournal.com]

Уважаемый flying-bear,

Я когда-то слышал, что доказательство самого Атии-Зингера, использующее К-теорию, слишком сложное и с тех пор многократно упрощалось. Рекорд будто бы поставил молодой Эзра Гетцлер, уместивший доказательство на полстраницы. А физикам, кажется, надо доказывать эту теорему так: придумать ТКТП, гильбертово пространство которой совпадает с искомыми нулевыми модами, и посчитать её статсумму в пределе малого времени (то есть высокой температуры), используя, например, континуальный интеграл: основной вклад в него будет от постоянных траекторий, то есть сведётся к интегралу по конфигурационному пространству. Как-то так.

Re: Континуальный интеграл вместо К-теории

[flying-bear.livejournal.com]

Если я правильно понял, это примерно и есть "ядро уравнения теплопроводности". Так обычно в книгах для физиков и доказывают.

Но мне не нужно доказывать эту теорему. Чего ее доказывать, тем более, физику. Мне нужно понять кое-какие идеи и подходы, которые, возможно, были бы полезны в моей науке. А, возможно, и нет. Пока не потратишь время, не поймешь.

[shkrobius.livejournal.com]

A good exposition for physicists will be written by a physicist who uses this theory and can put it in the right context. I do not expect a mathematician to write such an exposition.

Thank you for your consideration in duplicating the comment.

[flying-bear.livejournal.com]

Конечно. С топологической теорией дефектов было именно так. Воловик, Минеев, потом обзор Мермина.

[kobak.livejournal.com]

Спасибо.

Интересно: правильно ли мне кажется, что среди физиков, занимающихся физикой "вокруг нас", современную математику (о которой идет речь) не знает практически никто, -- в отличие от физиков, которые занимаются струнами и т.п.? Интересно, почему так. Я совершенно не берусь судить в целом, но вот в Питере среди студентов ситуация вроде бы именно такая: те немногие из "физиков", кто интересуется, условно говоря, К-теорией, стремятся заняться математической физикой в духе струн. Несколько лет назад в ПОМИ возник т.н. "физматклуб", где можно слушать лекции по современной математике. Туда ходят люди с физфаковской кафедры физики высоких энергий (ходил и я). Но не припомню там слушателей с кафедры физики твердого тела...

Впрочем, может быть, это очевидно: люди с любовью к абстрактной математике, скорее будут увлечены "математической физикой" ("физической математикой"?), а не "физикой вокруг нас". Что хуже, так это атмосфера некоторого пренебрежения к физике вокруг нас. Если бы её не было, то, может быть, кто-то и увлекся бы.

[flying-bear.livejournal.com]

> правильно ли мне кажется, что среди физиков, занимающихся физикой "вокруг нас", современную математику (о которой идет речь) не знает практически никто, - в отличие от физиков, которые занимаются струнами и т.п.?

Мне кажется, да. Отчасти, это самоподдерживающийся процесс. Кто-то должен разобраться (лучше бы, не один человек, а несколько) и научить остальных - (1) показав, что это полезно и (2) написав хороший обзор, или что-то в таком духе. Тут, как при фазовых переходах первого рода, нужен зародыш новой фазы.

Ну и, потом, голова не резиновая. Успешная работа в физике конденсированного состояния требует основательного знания "химии" (свойств конкретных материалов). Требовать еще и знания достаточно абстрактных разделов современной математики... Наверно, это возможно, но не очень вероятно. Возможно, я бы смог, если бы мне в некоторых отношениях больше повезло. Например, если бы в тот момент, когда я очень серьезно относился к налаживанию взаимодействия между физиками и математиками, мне попались бы математики посильнее, и более заинтересованные в таком взаимодействии.

[polwechsel.wordpress.com (from livejournal.com)]

а вот интересно, в связи с точно интегрируемыми моделями в свое время возникли различные интересные алгебраические структуры (квантовые группы, главным образом)
потом различные модели, типа изинга, являются источником сложных математических задач, которые решаются довольно хардкорным и продвинутым анализом (с. смирнов, например)
это имеет какое-то приложение или интерес в физике?

[flying-bear.livejournal.com]

Имеет, конечно. Проблема в том, что люди, которые понимают в этой хардкорной математике, обычно не очень знают эксперимент, да и не очень им интересуются. И наоборот. Мне кажется, физика много теряет от такого разрыва, но как его преодолеть, я не знаю. Нет сейчас людей, которые могли бы действительно работать переводчиками на границе двух миров.

[polwechsel.wordpress.com (from livejournal.com)]

может проблема даже в самом отношении к науке, в культивируемых вкусах или механизмах популяризации каких-то тем и вопросов.
часто можно услышать от, грубо говоря, любителей К-теории, незнание а то и пренебрежение анализом. иногда бывают конечно величины, которые простреливают эти разграничения (теренса тао например уважают все)
то есть толковый математик, питающий интерес к физике с вероятностью почти сто процентов окажется затянут струнщиками. может конечно совпасть, что у кого-то друг твердотельщик и нашлись общие вопросы, но в целом система не располагает.
в физике подозреваю тоже есть что-то подобное (ктп и "более приземленное").
получается такая теория заговора или даже снобизма, наверное это тысячу раз здесь уже обсуждалось, впрочем.

[flying-bear.livejournal.com]

Люди привыкли искать не где потеряли, а где светлее. Математик, интересующийся физикой, почти наверняка будет затянут в те разделы физики, которые наиболее похожи на математику. Являются ли эти разделы наиболее интересными и важными с точки зрения внутренней логики развития самой физики - другой вопрос. Вообще говоря, наверно, нет.

[sibirets.livejournal.com]

Если определить современную математику как такую, которую мало кто знает из числа занимающихся ФВН, то при разумном представлении о том, что такое мало в этом определении, в современную математику попадет куда как больше, чем теория категорий. Можно провести вот такой наукометрический эксперимент - взять сколько-то номеров Physical Review B и посчитать процент теоретических (или, по крайней мере, неэкспериментальных) работ, использующих математику сложнее комплексного анализа и элементарной алгебры (воможно в специфическом оформлении). Думаю, что будет меньше 10 процентов. А если посмотреть, например, на cond-mat, то, скорее всего, будет и еще меньше. При этом подавляющая часть этих процентов будет в рамках хорошо установленных контекстов. Например, теория групп в приложении к описанию свойств кристаллов, если топология, то, скорее всего, квантовый эффект Холла или топологические изоляторы.

Думается, что это отражает тот факт, что нет прямой зависимости между современностью математики и широтой охватываемых задач. Сравним двух гипотетических физиков. Один прекрасно знает ТФКП и только лишь общее знакомство с теорией групп, другой прекрасно знает теорию групп, а из комплексных чисел знает только сложение с умножением и, например, понятия не имеет о контурных интегралах, аналитическом продолжении и т.п. Какой из этих двух физиков будет более универсальным? Я бы поставил на первого. А вот кому из них, при прочих равных, удастся решить более сложную задачу? Наверное второму, другое дело, что такая задача ему может и не попасться.

В ФВН требуется некое оптимальное сочетание гибкости подходов и мощи, поскольку в огромном числе естественно возникающих задач исходные математические объекты достаточно простые, но представлены в экстенсивно сложном контексте, например, сложное дифференциальное уравнение. _Иногда_ оказывается, что эта сложность переводится в сложный объект, но в простом контексте. Красивый пример здесь - особенности ван Хова. Вот тогда современная математика оказывается у дел, но проблема именно в этом _иногда_. В теории же струн все объекты искусственно сконструированы, поэтому правила игры совсем другие.

[flying-bear.livejournal.com]

> В теории же струн все объекты искусственно сконструированы, поэтому правила игры совсем другие.

Я бы даже сказал - искусственно сконструированы таким образом, чтобы они были связаны с современной математикой.

Сейчас в теории конденсированного состояния происходит некое оживление с "голографическим принципом", AdS-CFT соответствием и т.п. Пытался слушать несколько докладов, никогда не мог понять ни мотивации, ни результатов. Ничего вообще. Такого у меня не было, даже когда слушал доклады по теории высоких энергий, и даже по струнам как таковым. Поэтому есть некоторое ощущение обмана. Ну, примерно, такое, когда в музее современного искусства видишь кучу ржавых гвоздей, выдаваемых за произведение искусства. Причем, вполне возможно, что деятельность вполне осмысленная, просто мне попадались не самые удачные представители. Встречусь с умным человеком, занимающимся этими упражнениями, и он мне чего-нибудь объяснит - мнение изменю. А пока так.

[sibirets.livejournal.com]

О, эти соответствия с принципами у меня больная мозоль. Не далее чем три недели назад воевал, что не надо просто ради красного словца это вставлять в заявку, потому что если знающие люди увидят, то будет неудобно. На данный момент все, что я про это знаю, это то, что твердотельные приложения AdS-CFT соответствия имеют отношение к беспорядку в конформной теории поля. Через месяц мне про эти дела надо будет что-то рассказывать на групповом семинаре, может к тому моменту удастся достичь просветления.

Так-то под специально придуманную задачу можно какую угодно математику приложить.