К дискуссии про то, как учить категориям. Ответ тт. Шкробиусу и Кобаку

[flying_bear]

Про категории ни уха, ни рыла, но скажу: (это ответ Шкробиусу на http://avva.livejournal.com/2280584.html?thread=75254664#t75254664). Там какие-то фортеля со скринингом комментов (UPDATE: а, нет, кажется, нет уже никаких фортелей), пусть здесь побудет, где его, по крайней мере, точно смогут прочесть те, кому он предназначен, shkrobius и kobak.

Дискуссия действительно крайне интересная. Просто, чтоб способствовать взаимопониманию собеседников, давайте отвечу на те вопросы в Вашем обмене мнениями с Кобаком, на которые, видимо, могу ответить только я [поскольку я там был помянут в обсуждении].

В двух словах - я не знаю теорию категорий и имею очень смутное представление о К-теории, но я хотел бы это знать. Думаю, то, что я ничего этого не знаю, очень сильно ограничивает мои возможности как физика.

Статью Хорава нашел интересной, но непонятной. Однако, написанную куда менее формально работу http://arxiv.org/abs/cond-mat/0611347 знаю очень хорошо, и она на самом деле важна для графена. "Топологическая" часть доказательства там существенна. Например, из нее следует, что многочастичная теория без нарушенной симметрии относительно инверсии и обращения времени тоже должна давать бесщелевой спектр в дираковской точке.

Теорема об индексе применительно к графену - это очень простой случай, там даже можно явно построить все нулевые моды. В книжке про графен, которую сейчас пишу, я так это все дело и представляю, по-другому просто не смогу. Да и не поймут-с - Азия-с. Но предпочел бы представлять, ссылаясь на общую теорему. В техническом смысле я не понимаю "третье" доказательство теоремы Атийя-Зингера (пытался читать, впрочем, и на уровне собаки, которая понимает, но объяснить не может, что-то забрезжило), но понимаю, что оно гораздо более по делу, чем основанное на расчете индекса через ядро уравнения теплопроводности (хотя последнее ближе физикам, и именно его в физических книжках и рассказывают).

То есть: я не знаю К-теории, но очень хотел бы знать. Вероятно, нужны хорошие изложения для физиков конденсированного состояния. Скажем, в случае алгебраической топологии был, в конце 1970х, замечательный обзор Мермина по топологической классификации дефектов. Его я выучил в свое время досконально (а потом уже смог читать какие-то относительно несложные математические книжки, из которых, в свою очередь, узнал и про теорему об индексе). Но я тогда был значительно моложе.

Я не занимаюсь трехмерными топологическими изоляторами именно потому, что чувствую недостаточную математическую подготовку. И воспринимаю это как проблему. Для двумерных топологических изоляторов, квантового спин-Холл эффекта и т.п. достаточно физической интуиции, почерпнутой из графена. Для трехмерных уже нет. И это, несомненно, мейнстримная физика, я согласен с Вашей оценкой.

Comments

[sibirets.livejournal.com]

Если определить современную математику как такую, которую мало кто знает из числа занимающихся ФВН, то при разумном представлении о том, что такое мало в этом определении, в современную математику попадет куда как больше, чем теория категорий. Можно провести вот такой наукометрический эксперимент - взять сколько-то номеров Physical Review B и посчитать процент теоретических (или, по крайней мере, неэкспериментальных) работ, использующих математику сложнее комплексного анализа и элементарной алгебры (воможно в специфическом оформлении). Думаю, что будет меньше 10 процентов. А если посмотреть, например, на cond-mat, то, скорее всего, будет и еще меньше. При этом подавляющая часть этих процентов будет в рамках хорошо установленных контекстов. Например, теория групп в приложении к описанию свойств кристаллов, если топология, то, скорее всего, квантовый эффект Холла или топологические изоляторы.

Думается, что это отражает тот факт, что нет прямой зависимости между современностью математики и широтой охватываемых задач. Сравним двух гипотетических физиков. Один прекрасно знает ТФКП и только лишь общее знакомство с теорией групп, другой прекрасно знает теорию групп, а из комплексных чисел знает только сложение с умножением и, например, понятия не имеет о контурных интегралах, аналитическом продолжении и т.п. Какой из этих двух физиков будет более универсальным? Я бы поставил на первого. А вот кому из них, при прочих равных, удастся решить более сложную задачу? Наверное второму, другое дело, что такая задача ему может и не попасться.

В ФВН требуется некое оптимальное сочетание гибкости подходов и мощи, поскольку в огромном числе естественно возникающих задач исходные математические объекты достаточно простые, но представлены в экстенсивно сложном контексте, например, сложное дифференциальное уравнение. _Иногда_ оказывается, что эта сложность переводится в сложный объект, но в простом контексте. Красивый пример здесь - особенности ван Хова. Вот тогда современная математика оказывается у дел, но проблема именно в этом _иногда_. В теории же струн все объекты искусственно сконструированы, поэтому правила игры совсем другие.

[flying-bear.livejournal.com]

> В теории же струн все объекты искусственно сконструированы, поэтому правила игры совсем другие.

Я бы даже сказал - искусственно сконструированы таким образом, чтобы они были связаны с современной математикой.

Сейчас в теории конденсированного состояния происходит некое оживление с "голографическим принципом", AdS-CFT соответствием и т.п. Пытался слушать несколько докладов, никогда не мог понять ни мотивации, ни результатов. Ничего вообще. Такого у меня не было, даже когда слушал доклады по теории высоких энергий, и даже по струнам как таковым. Поэтому есть некоторое ощущение обмана. Ну, примерно, такое, когда в музее современного искусства видишь кучу ржавых гвоздей, выдаваемых за произведение искусства. Причем, вполне возможно, что деятельность вполне осмысленная, просто мне попадались не самые удачные представители. Встречусь с умным человеком, занимающимся этими упражнениями, и он мне чего-нибудь объяснит - мнение изменю. А пока так.

[sibirets.livejournal.com]

О, эти соответствия с принципами у меня больная мозоль. Не далее чем три недели назад воевал, что не надо просто ради красного словца это вставлять в заявку, потому что если знающие люди увидят, то будет неудобно. На данный момент все, что я про это знаю, это то, что твердотельные приложения AdS-CFT соответствия имеют отношение к беспорядку в конформной теории поля. Через месяц мне про эти дела надо будет что-то рассказывать на групповом семинаре, может к тому моменту удастся достичь просветления.

Так-то под специально придуманную задачу можно какую угодно математику приложить.